2021-05-23发表2021-05-24更新刷题8 分钟读完 (大约1185个字)

leetcode-96

96. 不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

背景知识

二叉排序树（Binary Sort Tree），又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。是数据结构中的一类。在一般情况下，查询效率比链表结构要高。定义如下：

一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
左、右子树也分别为二叉排序树；

官方题解（动态规划）

给定一个有序序列$1 \cdots n1⋯n$，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字$i$，将该数字作为树根，将 $1 \cdots (i-1)$ 序列作为左子树，将 $(i+1) \cdots n$ 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。

在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。

由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。

在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。

由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。

算法

题目要求是计算不同二叉搜索树的个数。为此，我们可以定义两个函数：

$G(n)$：长度为 $n$ 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
$F(i,n)$：以$i$为根、序列长度为$n$的不同二叉搜索树个数$ (1 \leq i \leq n)$。

$G(n)$是需要求解的函数。

根据上一节中的思路，不同的二叉搜索树的总数$G(n)$，是对遍历所有$i(i\leq i\leq n)$的$F(i,n)$之和。既：
$$
G ( n ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } F ( i , n ) \tag{1}
$$
对于边界情况，当序列长度为 1（只有根）或为 0（空树）时，只有一种情况，即：
$$
G ( 0 ) = 1 , \quad G ( 1 ) = 1
$$
给定序列 $1 \cdots n$，我们选择数字$i$作为根，则根为$i$的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树，如下图所示：

举例而言，创建以 $3$为根、长度为$7$ 的不同二叉搜索树，整个序列是$1,2,3,4,5,6,7$，我们需要从左子序列 $1,2$ 构建左子树，从右子序列$4,5,6,7$ 构建右子树，然后将它们组合（即笛卡尔积）。

对于这个例子，不同二叉搜索树的个数为$F(3,7)$。然后将$[1,2]$构建不同左子树的数量表示为$G(2)$，从$[4,5,6,7]$构建不同右子树的数量表示为$G(4)$，注意到$G(n)$和序列的内容无关，只和序列的长度有关。于是，$F(3,7)=G(2)\cdot G(4)$。故可以得到以下公式：
$$
F ( i , n ) = G ( i - 1 ) \cdot G ( n - i ) \tag{2}
$$
结合式（1）（2），可以得到$G(n)$的表达式：
$$
G ( n ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } G ( i - 1 ) \cdot G ( n - i ) \tag{3}
$$
至此，我们从小到大计算$G$函数即可，因为$G(n)$的值依赖于$G(0),\dots,G(n-1)$。

class Solution:
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int,长度
        :rtype: int
        """
        G = [0]*(n+1)
        G[0], G[1] = 1, 1
		
        # 计算不同长度的
        for i in range(2, n+1):
            # 按顺序作为根
            for j in range(1, i+1):
                G[i] += G[j-1] * G[i-j]

        return G[n]