剑指offer-17

剑指 Offer 17. 打印从1到最大的n位数

输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数 999。

输入: n = 1
输出: [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

解法

大数打印解法

实际上，本题的主要考点是大数越界情况下的打印。需要解决以下三个问题：

1. 表示大数的变量类型：

   • 无论是 short / int / long … 任意变量类型，数字的取值范围都是有限的。因此，大数的表示应用字符串 String 类型。

2. 生成数字的字符串集：

   • 使用 int 类型时，每轮可通过 +1 生成下个数字，而此方法无法应用至 String 类型。并且， String 类型的数字的进位操作效率较低，例如 “9999” 至 “10000” 需要从个位到千位循环判断，进位4次。
   • 观察可知，生成的列表实际上是 $n$位 $0-9$的 全排列，因此可避开进位操作，通过递归生成数字的 String 列表。

3. 递归生成全排列：

   • 基于分治算法的思想，先固定高位，向低位递归，当个位已被固定时，添加数字的字符串。例如当 $n=2$时（数字范围 $1-99$），固定十位为 $0-9$，按顺序依次开启递归，固定个位 $0-9$，终止递归并添加数字字符串。

   

   根据以上方法，可初步编写全排列代码：

   class Solution:
       def printNumbers(self, n: int) -> [int]:
           def dfs(x):
               if x == n: # 终止条件：已固定完所有位
                   res.append(''.join(num)) # 拼接 num 并添加至 res 尾部
                   return
               for i in range(10): # 遍历 0 - 9
                   num[x] = str(i) # 固定第 x 位为 i
                   dfs(x + 1) # 开启固定第 x + 1 位
           
           num = ['0'] * n # 起始数字定义为 n 个 0 组成的字符列表
           res = [] # 数字字符串列表
           dfs(0) # 开启全排列递归
           return ','.join(res)  # 拼接所有数字字符串，使用逗号隔开，并返回

   在此方法下，各数字字符串被逗号隔开，共同组成长字符串。返回的数字集字符串如下所示：

   输入：n = 1
   输出："0,1,2,3,4,5,6,7,8,9"
   
   输入：n = 2
   输出："00,01,02,...,10,11,12,...,97,98,99"
   
   输入：n = 3
   输出："000,001,002,...,100,101,102,...,997,998,999"

观察可知，当前的生成方法仍有以下问题：

1. 诸如 $00, 01, 02, \dots$ 应显示为 $0,1,2,\dots$，既应 删除高位多余的0；
2. 此方法从 0 开始生成，而题目要求 列表从 1 开始 ；

以上两个问题的解决方法如下：

1. 删除高位多余的0：

   • 字符串左边界定义：声明变量 $start$ 规定字符串的左边界，以保证添加的数字字符串 num[start:] 中无高位多余的0。例如当 $n=2$时，$1-9$时 $start=1, 10-99$时，start=0。

   • 左边界start变化规律：观察可知，当输出数字的所有位都是9时，则下个数字需要向更高位进 1 ，此时左边界start要减1（既高位多余的 0 减少一个）。例如当 $n=3$（数字范围 1-999）时，左边界 start需要减1的情况有：“009” 进位至 “010”， “099”进位至“100”。设数字各位中9的数量为 $nine$，所有位都为9的判断条件可用以下公式表示：
     $$
     n - start = nine
     $$

   • 统计$nine$的方法：固定第$x$位时，当 $i=9$则执行 $nine=nine+1$，并在回溯前恢复 $nine = nine-1$。

2. 列表从1开始：

   • 在以上方法的基础上，添加数字字符串前判断其是否为 "0" ，若为 "0" 则直接跳过。

为 正确表示大数 ，以下代码的返回值为数字字符串集拼接而成的长字符串。

class Solution:
    def printNumbers(self,n: int) -> [int]:
        def dfs(x):
            if x == n:
                s = ''.join(num[self.start:])
                if s != '0':
                    res.append(s)
                if n - self.start == self.nine:
                    self.start -= 1
                return
            for i in range(10):
                if i == 9:
                    self.nine += 1
                num[x] = str(i)
                dfs(x+1)
            self.nine -= 1
        num,res = ['0'] *n, []
        self.nine = 0
        self.start = n-1
        dfs(0)
        return ','.join(res)
    
                

本题要求输出 int 类型数组。为 运行通过 ，可在添加数字字符串 $s$ 前，将其转化为 int 类型。代码如下所示：

class Solution:
    def printNumbers(self, n: int) -> [int]:
        def dfs(x):
            if x == n:
                s = ''.join(num[self.start:])
                if s != '0': res.append(int(s))
                if n - self.start == self.nine: self.start -= 1
                return
            for i in range(10):
                if i == 9: self.nine += 1
                num[x] = str(i)
                dfs(x + 1)
            self.nine -= 1
        
        num, res = ['0'] * n, []
        self.nine = 0
        self.start = n - 1
        dfs(0)
        return res