剑指offer-47

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例：

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

官方题解

题目说明：从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次 向右 或者 向下 移动一格、直到到达棋盘的右下角。

根据题目说明，易得某单元格只可能从上边单元格或左边单元格到达。

设 $f(i,j)$ 为从棋盘左上角走至单元格 $(i,j)$ 的礼物的最大累计价值，易得到以下递推关系：$f(i,j)$等于 $f(i,j-1)$和 $f(i-1, j)$ 中的较大值加上当前单元格礼物 $grid(i,j)$。
$$
f(i,j) = max[f(i,j-1),f(i-1,j)] + grid(i,j)
$$
因此，可用动态规划解决此问题，以上公式便为转移方程。

动态规划解析：

• 状态定义：设动态规划矩阵 $dp$, $dp(i,j)$ 代表从棋盘的左上角开始，到达单元格 $(i,j)$ 时能拿到礼物的最大累计价值。

• 转移方程：

  1. 当 $i=0$ 且 $j=0$，为起始元素；

  2. 当 $i=0$ 且 $j \neq 0$，为矩阵第一行元素，只可从左边到达；

  3. 当 $i \neq 0$ 且 $j = 0$，为矩阵第一列元素，只可从上边到达；

  4. 当 $i \neq 0$且 $j\neq 0$，可从左边或上边到达；
     $$
     d p(i, j)=\left{\begin{array}{ll}
     \operatorname{grid}(i, j) & , i=0, j=0 \
     \operatorname{grid}(i, j)+d p(i, j-1) & , i=0, j \neq 0 \
     \operatorname{grid}(i, j)+d p(i-1, j) & , i \neq 0, j=0 \
     \operatorname{grid}(i, j)+\max [d p(i-1, j), d p(i, j-1)] & , i \neq 0, j \neq 0
     \end{array}\right.
     $$

• 初始状态： $dp[0][0] = grid[0][0]$，即到达单元格 $(0,0)$ 时能拿到礼物的最大累计价值为 $grid[0][0]$；

• 返回值： $dp[m-1][n-1],;; dp[i][j-1],;;,m,n$ 分别为矩阵的行高和列宽，既返回 $dp$ 矩阵右下角元素。

class Solution:
    def maxValue(self, grid) -> int:
        # 遍历行
        for i in range(len(grid)):
            # 遍历列
            for j in range(len(grid[0])):
                if i==0 and j==0:
                    continue
                if i == 0: # 第一行，只能从左边走
                    grid[i][j] += grid[i][j-1]
                elif j==0: # 第一列，只能从上边走
                    grid[i][j] += grid[i-1][j]
                else: # 都可以走
                    grid[i][j] += max(grid[i][j-1],grid[i-1][j])
                

        return grid[-1][-1]